三、解答题

17．等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0，且a₃•a₄=a₁₂．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设b_n=a_n•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．

【分析】（1）由已知a₃•a₄=a₁₂，求得d=1，即可写出通项公式；

（2）b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，采用乘以公比错位相减法，求得T_n．

【解答】解：a₃•a₄=a₁₂．

（a₁+2d）（a₁+3d）=（a₁+11d），

解得：d=1，

a_n=n，

数列{a_n}的通项公式，a_n=n；

b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，

数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，

2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n﹣1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，

两式相减得：﹣T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ﹣n•2ⁿ⁺¹，

T_n=n•2ⁿ⁺¹﹣2ⁿ⁺¹+2=（n﹣1）2ⁿ⁺¹+2

∴T_n=（n﹣1）2ⁿ⁺¹+2．