主题:2017年湖南省湘西州高考数学一模试卷(理科)含答案解析

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2017年湖南省湘西州高考数学一模试卷(理科)含答案解析
[选修4-5:不等式选讲]
23.(2017•邵阳二模)设函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|.
(1)求不等式f(x)>1解集;
(2)若关于x的不等式f(x)+4≥|1﹣2m|有解,求实数m的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(1)由条件利用绝对值的意义求得不等式f(x)>1解集.
(2)根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解,即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|,再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值,从而求得m的范围.
【解答】解:(1)函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离,
而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1,
故不等式f(x)>1解集为{x|x>0}.
(2)若关于x的不等式f(x)+4≥|1﹣2m|有解,
即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解,故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|.
利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7,
∴|1﹣m|≤7,故﹣7≤m﹣1≤7,求得﹣6≤m≤8,
m的范围为[﹣6,8].
【点评】本题主要考查绝对值的意义,函数的能成立问题,属于中档题.

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