主题:2.5等腰三角形的轴对称性(2)学案

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苏科版八年级上2.5等腰三角形的轴对称性(2)学案
预习目标
    1.知道判定一个三角形是等腰三角形的条件.
    2.掌握等边三角形的轴对称性及性质.
    3.知道判定一个三角形是等边三角形的条件.
教材导读
    阅读教材P62~P63内容,回答下列问题:
    1.判定等腰三角形的条件
    如图①,在△ABC中,∠B=∠C.
    方法1:作∠BAC的平分线AD,交BC于点D.由∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,AD=AD,可得△BAD≌△CAD,则AB=AC.
方法2:作BC边上的高AD.由∠B=∠C,∠BDA=∠CDA=90°,AD=AD,可得△BAD≌△CAD,则AB=AC.
    因此,有两个角_______的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
    2.等边三角形的概念与性质
    (1)三边_______的三角形叫做等边三角形或正三角形.
    (2)等边三角形的轴对称性
    等边三角形_______(填“是”或“不是”)轴对称图形,对称轴有_______条,分别是_______.
    (3)等边三角形的各角都等于_______.
    如图②,△ABC是等边三角形,∴AB=AC,AB=BC..∴∠B=∠_______,∠A=∠_______.∴∠A=∠B=∠C.又∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3∠A=_______°,即∠A=60°.∴∠B=∠C=60°.
    因此,等边三角形的每个内角都等于_______°
    3.判定等边三角形的条件
    (1)如图②,在△ABC中,若∠A=∠B,∠B=∠C,则BC=_______,AB=_______..所以BC=AC=AB,从而△ABC是等边三角形.
    由此可得,三个角_______的三角形是等边三角形.
    (2)如图②,在△ABC中,若∠A=60°,AB=AC,则根据三角形内角和为180°,得∠B=∠C=_______°,所以∠A=∠B=∠C=60°.所以△ABC是等边三角形.
    由此可得,有一个角是_______°的等腰三角形是等边三角形,
例题精讲
    例1 如图,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.求证:BD+EC=DE.
    提示:先设法找出图中相等的角,再利用“等角对等边”,即可找出相等的线段进行代换.
    点评:当题目中出现平行线和角平分线时,通常先用内错角进行角的转化,再运用“等角对等边”得到等腰三角形.同学们不妨在平时的解题中留心验证.
    例2 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于点E,D为垂足,连接EC.
    (1)求∠ECD的度数.
    (2)若EC=5,求BC的长.
提示:(1)根据ED所在的直线是线段AC的垂直平分线,可得AE=EC,因此∠A=∠ACE. (2)由已知条件可以求出∠B=72°,∠BEC=72°,即∠B=∠BEC,从而运用“等角对等边”求得BC的长.
点评:本题综合考查了等腰三角形的性质和判定方法,以及线段垂直平分线的性质,是一道小型的综合题.
    例3 如图,D是等边三角形ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边三角形EDC,连接AE.找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
提示:利用等边三角形三边相等,三个角都是60°来找全等三角形.
点评:在利用等边三角形的性质解题时,不仅要考虑到三边相等,而且要注意到三个角都是60°.本题用到两个相等的60°角减去同一个角得到的两个角仍然相等,有时用两个相等的60°角加上同一个角得到的两个角仍然相等,同学们在平时解题中要多留心.
热身练习
1.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰好在AB上.若AD=7 cm,BC=8 cm,则AB的长度是_______cm.
2.如图,△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=_______.
3.如图,在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC-3BD,将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为_______.
4.如图,BC=BD,∠C=∠D,你能判断AC与AD的数量关系吗?请说明理由.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.
  (1)求∠DAC的度数.
  (2)求证:DC=AB.
6.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等?三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接AE.求证:AE∥BC.

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