第1课时　乘方(1)

教学目标

【知识与技能】

理解有理数乘方的概念,掌握有理数乘方的运算.

【过程与方法】

培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力以及探索精神.

【情感、态度与价值观】

通过在现实背景中理解有理数乘方的意义,体会数学的应用价值.

教学重难点

【重点】有理数乘方的运算.

【难点】有理数乘方运算的符号法则.

教学过程

一、复习导入

1.师:同学们,请列式表示:(1)边长为a的正方形面积;(2)棱长为a的长方体体积.

2.师:在小学我们已经学过a·a,记作a²,读作a的平方(或a的二次方);a·a·a记作a³,读作a的立方(或a的三次方).那么a·a·a·a可以记作什么?读作什么?a·a·a·a·a呢?

(n为正整数)呢?

二、讲授新课

1.概念.

师生:一般地,我们有:n个相同的因数a相乘,即,记作aⁿ.

例如,2×2×2=2³;(-2)(-2)(-2)(-2)=(-2)⁴.

这种求几个相同因数的积的运算,叫做乘方(involution),乘方的结界叫做幂(power).在aⁿ中,a叫做底数,n叫做指数,aⁿ读作a的n次方,aⁿ看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂.

例如,2³中,底数是2,指数是3,2³读作2的3次方,或2的3次幂.

一个数可以看作这个数本身的一次方,例如8就是8¹,通常指数为1的省略不写.

2.例题.

【例】　计算:(1)(-2)³;　(2)(-2)⁴;

(3)(-2)⁵.

【答案】　(1)原式=(-2)×(-2)×(-2)=-8.

(2)原式=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16.

(3)原式=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=-32.

3.总结.

让学生总结出符号法则.

根据有理数乘法运算法则,我们有:

正数的任何次幂都是正数;

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.

你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?

当a>0时,aⁿ>0(n是正整数);

当a<0时,

当a=0时,aⁿ=0(n是正整数)(以上为有理数乘方运算的符号法则).

a²ⁿ=(-a)²ⁿ(n是正整数);a^2n-1=-(-a)^2n-1(n是正整数);a²ⁿ≥0(a是有理数,n是正整数).

4.试一试.

(-2)⁶读作什么?其中底数是什么?指数是什么?(-2)⁶是正数还是负数?

4³=(　　);(-)²=(　　);(-1)⁵=(　　);(-0.1)³=(　　).

【答案】　略

三、课堂小结

教师引导学生回忆,做出小结:1.乘方的有关概念.2.乘方的符号法则.3.括号的作用.

第2课时　乘方(2)

教学目标

【知识与技能】

1.进一步掌握有理数的运算法则和运算律.

2.使学生能够熟练地按有理数的运算顺序进行混合运算.

【过程与方法】

通过例题,培养学生的观察、归纳、推理运算等能力.

【情感、态度与价值观】

通过师生共同交流,渗透利用数学知识解决实际问题的思想,以激发学生学习的兴趣,树立独立解决问题的信心.

教学重难点

【重点】有理数的混合运算.

【难点】准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题.

教学过程

一、复习引入

师:在上新课之前,我们先来做几个题目巩固一下前面所学的知识.

1.指名学生计算:

(1)(-2)+(-3);　　(2)7×(-12);

(3)17-(-32);       (4)(-2)³;

(5)-2³;       (6)0²¹;

(7)(-4)²      (8)(-2)⁴;

(9)-100-27;       (10)1×(-2);

(11)-7+3-6;       (12)(-3)×(-8)×25.

2.师:说一说我们学过的有理数的运算律.

加法交换律:a+b=b+a.

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

乘法交换律:ab=ba.乘法结合律:(ab)c=a(bc).

乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.

二、讲授新课

1.师:同学们,请观察下面的算式里有哪几种运算?

3+50÷2²×(-)-1.

在这个算式里,含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算,这种运算称为有理数的混合运算.

2.有理数混合运算的运算顺序.

(1)先算乘方,再算乘除,最后算加减;

(2)同级运算,按照从左至右的顺序进行;

(3)如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.

注意:①加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算;乘方和开方叫做第三级运算.

②可以应用运算律,适当改变运算顺序,使运算简便.

3.试一试.

师:指出下列各题的运算顺序:

(1)-50÷2×();

(2)6÷(3×2);

(3)6÷3×2;

(4)17-8÷(-2)+4×(-3);

(5)3²-50÷2²×()-1.

三、例题讲解

【例1】　计算:(-)÷1÷.

【答案】　原式=(-)÷1÷=(-)××10=-.

师:这里要注意三点:

(1)小括号里的先算;

(2)进行分数的乘除运算,一般要把带分数化为假分数,把除法转化为乘法;

(3)同级运算,按从左往右的顺序进行,这一点十分重要.

【例2】　计算:

(1)-10+8÷(-2)²-(-4)×(-3);

(2)(-)×(-)²+(-)÷[(-)³-].

【答案】　(1)-10+8÷(-2)²-(-4)×(-3)

=-10+8÷4-4×3=-10+2-12=-20.

(2)(-)×(-)²+(-)÷[(-)³-]

=(-)×+(-)÷[(-)-]

=(-)×+(-)÷(-)

=-5+1=-4.

5.课堂练习:

(1)想一想:

①2÷(-2)与2÷-2有什么不同?

②2÷(2×3)与2÷2×3有什么不同?

(2)试一试:

计算:2×(-)÷(-2).

【答案】　(1)①运算顺序不同,前者结果是-;后者结果是2.②运算顺序不同,前者结果是;后者结果是3.　(2).

四、课堂小结

教师引导学生一起总结有理数混合运算的规律:1.先乘方,再乘除,最后加减.2.同级运算按从左到右的顺序运算.3.若有括号,先小再中最后大,依次计算.

第3课时　科学记数法

教学目标

【知识与技能】

1.复习和巩固有理数乘方的概念,掌握有理数乘方的运算.

2.使学生了解科学记数法的意义,并会用科学记数法表示比较大的数.

【过程与方法】

通过科学记数法的学习,让学生从各种角度感受大数,促使学生重视大数的现实意义,培养学生的情感.

【情感、态度与价值观】

让学生充分感受到数学给我们的生活带来的便捷与严谨.

教学重难点

【重点】正确运用科学记数法表示较大的数.

【难点】正确掌握10的幂指数特征.

教学过程

一、复习导入

师:我们先来看这几个问题.

1.指名回答什么叫乘方,并让学生说出10³,-10³,(-10)³,aⁿ等的底数、指数、幂.

2.师:请把下列各式写成幂的形式:

×××;(-)(-)(-)(-);-×××;.

3.计算:10¹,10²,10³,10⁴,10⁵,10⁶,10¹⁰.

师引导学生得出:由第3题计算:10⁵=100 000,10⁶=1 000 000,10¹⁰=10 000 000 000,左边用10的n次幂表示简洁明了,且不易出错,右边有许多零,很容易写错,读的时候也是左易右难,这就使我们想到用10的n次幂表示较大的数,比如一亿、一百亿等.又如像太阳的半径大约是696 000千米,光速大约是300 000 000米/秒,中国人口大约是13亿等,我们如何能简单明了地表示它们呢?这就是本节课我们要学习的内容——科学记数法.

二、讲授新课

1.10ⁿ的特征.

师:同学们,请观察第3题:10¹=10,10²=100,10³=1 000,10⁴=10 000,…,10¹⁰=10 000 000 000.

提问:10ⁿ中的n表示n个10相乘,它与运算结果中0的个数有什么关系?与运算结果的数位有什么关系?

(1)10ⁿ=1,n恰巧是1后面0的个数;(2)10ⁿ=,比运算结果的位数少1.反之,1后面有多少个0,10的幂指数就是多少,如1=10⁷.

2.练习.

(1)把下面各数写成10的幂的形式:1 000,100 000 000,100 000 000 000.

(2)指出下列各数是几位数:10³,10⁵,10¹²,10¹⁰⁰.

3.科学记数法.

(1)任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式.

如:100=1×100=1×10²;6 000=6×1 000=6×10³;7 500=7.5×1 000=7.5×10³.

第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识,我们现在要做的就是把100,1 000,变成10的n次幂的形式就行了.

(2)科学记数法的定义.

根据上面的例子,我们把大于10的数记成a×10ⁿ的形式,其中a的整数数位只有一位的数,n是自然数,这种记数法叫做科学记数法.现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法,以后我们还要学习其他一些数的科学记数法.说它科学,因为它简单明了,易读易记易判断大小,在自然科学中经常运用.

一般地,把一个大于10的数记成a×10ⁿ的形式,其中a是整数数位只有一位的数(即1≤a<10),n是正整数,这种记数法叫做科学记数法.

三、例题讲解

【例1】　用科学记数法表示下列各数:

(1)696 000;　　　　　(2)1 000 000;

(3)58 000;         (4)-7 800 000.

【答案】　(1)原式=6.96×10⁵;

(2)原式=10⁶;

(3)原式=5.8×10⁴;

(4)原式=-7.8×10⁶.

【例2】　资料表明,被称为“地球之肺”的森林正以每年约1300万公顷的速度从地球上消失,每年森林的消失量用科学记数法表示应是多少公顷?

【答案】　1300万=13 000 000=1.3×10⁷.

因此,每年森林的消失量用科学记数法表示应是1.3×10⁷hm².

思考.

用科学记数法表示一个数时,10的指数与原数的数位位数有什么关系?和同学讨论一下,再举几个数验证你的猜想是否正确.

课堂练习

课本P₄₃练习的第1、2题.

【答案】　略

四、课堂小结

指导学生看书并掌握:

1.什么是科学记数法以及为什么学习科学记数法.

2.突出科学记数法中字母a的规定及10的幂指数与原数整数位数的关系.