1.5 有理数的乘除
第1课时 有理数的乘法(1)
教学目标
【知识与技能】
了解有理数乘法的意义,掌握有理数乘法法则,并熟练进行两个有理数乘法的运算.
【过程与方法】
经历对有理数乘法法则的探索过程,加深对法则的理解并能熟练使用.
【情感、态度与价值观】
通过师生交流合作,让学生体会从特殊到一般的归纳方法,提高学生的认知水平.
教学重难点
【重点】有理数乘法的运算.
【难点】有理数乘法中的符号法则.
教学过程
一、复习导入
师:我们先来复习一下前面所学的知识.
1.指名计算:(-2)+(-2)+(-2).
2.师:你们知道有理数包括哪些数吗?小学学习四则运算是在有理数的什么范围中进行的?(非负数)
生讨论并发言.
3.师:那么在有理数的加减运算中,关键问题是什么?和小学所学的运算最主要的不同点是什么?(符号问题)
学生讨论并发言.
4.根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减,运算的关键是确定符号问题,你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么?(负数问题,符号的确定)
二、讲授新课
1.师生共同探究有理数乘法法则.
(1)研究实际问题.
教师出示问题1:一只小虫沿一条东西向的跑道,以每分钟3米的速度向东爬行2分钟,那么它现在位于原来的位置的哪个方向,相距多少米?
我们知道,这个问题可用乘法来解答:3×2=6①
即小虫位于原来位置的东方6米处.
注意:这里我们规定向东为正,向西为负.如果上述问题变为:
问题2:小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟,那么结果有何变化?
这也不难,写成算式就是:(-3)×2=-6②
即小虫位于原来位置的西方6米处.
(2)引导学生比较上面两个算式.
当我们把“3×2=6”中的一个因数“3”换成它的相反数“-3”时,所得的积是原来的积“6”的相反数“-6”,一般地,我们有:
把一个因数换成它的相反数,所得的积是原来的积的相反数.
(3)这是一条很重要的结论,应用此结论,3×(-2)=? (-3)×(-2)=? (学生答)把3×(-2)和①式对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积应是原来的积“6”的相反数“-6”,即3×(-2)=-6.把(-3)×(-2)和②式对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积应是原来的积“-6”的相反数“6”,即(-3)×(-2)=6.此外,把(-3)×0=0同3×0=0作比较.
(4)综合上面的各种情况,引导学生自己归纳出有理数乘法的法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
任何数同0相乘,都得0.
(5)继而教师强调指出:
“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学时期学习的乘法,有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”.
用有理数乘法法则与小学学习的乘法相比,由于介入了负数,使乘法变得较复杂了,但并不难,关键仍然是乘法的符号法则:“同号得正,异号得负”,符号一旦确定,就归结为小学的乘法了.
因为,在进行有理数乘法运算时更需时时强调:先定符号后定值.
三、例题讲解
【例1】 计算:
(1)(-5)×(-6); (2)(-)×;
(3)(-)×(-); (4)8×(-1.25).
【答案】 (1)(-5)×(-6)=+(5×6)=30.
(2)(-)×=-(×)=-.
(3)(-)×(-)=+(×)=1.
(4)8×(-1.25)=-(8×1.25)=-10.
【例2】 用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负,登山队攀登一座山峰,每向上攀登1km气温的变化量为-6℃,向上攀登3km后气温有什么变化?学生口述,教师板书.
四、巩固练习
课本P31练习第1~3题.
【?案】 略
五、课堂小结
今天主要学习了有理数的乘法法则,要牢记两个负数相乘得正数,简单地说就是“负负得正”.
第2课时 有理数的乘法(2)
教学目标
【知识与技能】
1.掌握有理数乘法的运算律,并利用运算律简化乘法运算.
2.掌握多个有理数相乘的积的符号法则.
3.培养学生观察、归纳、概括及运算能力.
【过程与方法】
经历探索多个有理数乘法法则的过程,培养学生观察、归纳、概括及运算的能力.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实例抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生实事求是、善于质疑和独立思考的良好学习习惯.
教学重难点
【重点】乘法的符号法则和乘法的运算律.
【难点】积的符号的确定.
教学过程
一、复习导入
1.师:同学们,你们谁能叙述一下有理数的乘法法则?
2.指名口算:
(1)5×(-6); (2)(-6)×5;
(3)[3×(-4)]×(-5); (4)3×[(-4)×(-5)].
二、讲授新课
1.师生共同研究有理数乘法运算律:
(1)问题:
在小学里,我们曾经学过乘法的交换律、结合律、分配律.这三个运算律在有理数乘法运算中也是成立的吗?
(2)探索:
任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□和○内,并比较两个算式的运算结果.
□×○和○×□
任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个算式的运算结果.
(□×○)×◇和□×(○×◇)
任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个算式的运算结果.
□×(○+◇)和□×○+□×◇
(3)总结:让学生总结出乘法的交换律、结合律.
乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变.即ab=ba.
乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.即(ab)c=a(bc).
乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加,即a(b+c)=ab+ac.
(4)根据乘法交换律和结合律可以推出:三个以上有理数相乘, 可以任意交换乘数的位置,也可以先把其中的几个数相乘.
(5)师:多个有理数相乘,有一个因数为零时,积是多少?因数都不为零时,积的符号怎样确定?
生:①几个有理数相乘,有一个因数为零,积为零.②几个不为零的有理数相乘,积的符号由负数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.
2.问题:
(1)计算:(-2)×5×(-3),有多少种不同的算法?你认为哪种算法比较好?
(2)计算:(+-)×12,有几种不同的算法?你认为哪种算法比较好?
三、例题讲解
【例1】 计算:
(1)(-10)××0.1×6= ;
(2)(-10)××0.1×(-6)= ;
(3)(-10)×(-)×(-0.1)×6= ;
(4)(-10)×(-)×(-0.1)×(-6)= .
【答案】 (1)-2 (2)2 (3)-2 (4)2
我们可以发现:一般地,几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.
【例2】 计算:
(1)8+(-0.5)×(-8)×;
(2)(-3)××(-1)×(-0.25);
(3)×(8-1-);
(4)4×(-12)+(-8)×(-5)+16.
【答案】 (1)原式=8+××8=8+3=11.(先乘后加)
(2)原式=-3××× (先定符号)
=-1. (后定值)
(3)原式=×8-×-×=6-1-=4.
(4)原式=8×(-6)+8×5+8×2=8×(-6+5+2)=8×1=8.
从上面的例子可以看出,应用运算律,可使运算简便.有时需要先把算式变形,才能用?配律.如(3),还有时需反向运用分配律.
四、巩固练习
课本P32练习第1~3题.
【答案】 略
五、课堂小结
教师指导学生看书,精读多个有理数乘法的法则及乘法运算律,并强调运算过程中应该注意的问题.
第3课时 有理数的除法
教学目标
【知识与技能】
1.理解有理数倒数的意义.
2.掌握有理数的除法法则,能够熟练地进行除法运算.
【过程与方法】
经历探索有理数除法法则及运算的过程,培养学生观察、归纳、概括及运算的能力.
【情感、态度与价值观】
通过师生合作交流,让学生体会从特殊到一般的归纳方法,提高学生的认知水平.
教学重难点
【重点】有理数除法法则.
【难点】商的符号的确定以及对零不能作除数的理解.
教学过程
一、复习导入
师:在新课开始之前,我们先来回顾一下前面的知识.
1.教师指名学生叙述有理数乘法法则.
2.叙述有理数乘法的运算律.
3.计算:
(1)(-6)×;
(2)(-0.5)×(-1)××(-8)×1;
(3)(-3)×(+7)-9×(-6);
(4)÷().
二、讲授新课
1.师生共同研究有理数除法法则:
(1)问题:
“一个数与2的乘积是-6,这个数是几?”你能否回答?这个问题写成算式有两种:
2×(?)=-6,(乘法算式) 也就是(-6)÷2=(?) (除法算式)
由2×(-3)=-6,我们有(-6)÷2=-3.另外,我们还知道:(-6)×=-3.所以,(-6)÷2=(-6)×.这表明除法可以转化为乘法来进行计算.
(2)探索:
填空:
8÷(-2)=8×( );
6÷(-3)=6×( );
-6÷( )=-6×;
-6÷( )=-6×.
(3)总结:
让学生总结除法法则、倒数的概念,乘积是1的两个数互为倒数.
有理数除法法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数.
注意:0不能作除数.
2.探讨总结出有理数除法类似有理数乘法的法则.
因为除法可化为乘法,所以有理数的除法有与乘法类似的法则:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.
0除以任何一个不为0的数,都得0.
三、例题讲解
【例1】 计算:
(1)(-18)÷6; (2)(-)÷(-);
(3)÷(-).
【答案】 (1)(-18)÷6=(-18)×=-3.
(2)(-)÷(-)=(-)×(-)=.
(3)÷(-)=×(-)=-.
【例2】 化简下列分数:
(1); (2).
【答案】 (1)原式=(-12)÷3=-(12÷3)=-4.
(2)原式=(-24)÷(-16)=24÷16=1.
【例3】 计算:
(1)(-)÷(-); (2)(-24)÷(-6);
(3)-3.5÷×(-).
【答案】 (1)原式=÷=×=.[或原式=(-×(-)=]
(2)原式=(24+)×=4+=4.
(3)原式=××=3.
四、巩固练习
课本P34练习的第1~3题.
【答案】 略
五、课堂小结
1.指导学生看书,重点是除法法则.
2.引导学生归纳有理数除法的一般步骤:(1)确定商的符号;(2)把除数化为它的倒数;(3)利用乘法计算结果.
第4课时 有理数的乘除混合运算
教学目标
【知识与技能】
1.有理数的加减乘除混合运算.
2.合理使用运算律简化运算.
【过程与方法】
通过学生做题,提高学生的灵活解题能力和运算技能.
【情感、态度与价值观】
通过师生共同的活动,培养学生的应用意识,训练学生的思维.
教学重难点
【重点】按有理数的运算顺序 ,正确而合理地进行有理数的混合运算.
【难点】按有理数的运算顺序,合理地运用运算律简化计算.
教学过程
一、复习导入
师:上新课之前,老师先出个题目考考大家.
1.指名学生计算:
(1)8+5×(-4);
解 (1)原式=8+(-20) (先乘后加)
=-12.
(2)(-3)×(-7)-9×(-6).
解 (2)原式=21-(-54) (先乘后减)
=75.
2.再次强调:在有理数乘法计算中,首先要掌握积的符号法则,当符号确定后又归结到小学数学的乘法运算上,四则运算顺序也同小学一样,先进行第二级运算,再进行第一级运算,若有括号先算括号里的式子.
二、例题讲解
【例1】 计算:×(-)×÷.
学生板演,教师点评,然后分析:既要考虑运算顺序,又要考虑运算法则.
【答案】 原式=×(-)××=-.
【例2】 计算:
(1)8+(-0.5)×(-8)×;
(2)(-3)××(-1)×(-0.25);
(3)+÷(-)-×(-);
(4)-5+(1-0.2×)÷(-2).
学生板演,教师点评学生解法.
【答案】 (1)原式=8+××8=8+3=11.
(2)原式=-3×××=-1.
(3)原式=+×(-)-×(-)
=-+=1.
(4)原式=-5+(1-)÷(-2)
=-5+×(-)=-5-=-.
【例3】 计算:
(1)30×(-+0.4); (2)4.98×(-5).
【答案】 (1)原式=30×-30×+30×=15-20+12=7.
(2)原式=4.98×(-5)=(5-0.02)×(-5)=-25+0.1=-24.9.
从上面的例子可以看出,应用运算律,有时可使运算简便.
三、课堂练习
课本P36~P37练习的第1~3题.
【答案】 略
四、课堂小结
通过本节课的学习,你获得了哪些新的知识,你认为你有哪些方面的进步?
学生自主总结,教师补充完善.
三个优先:运算顺序优先考虑,运算结合的符号优先考虑,能运用运算律的优先考虑.