放射虫的骨架

放射虫是一种只有在显微镜下才能看到的海洋生物，这些微型动物用自己的机体构筑起各式各样的外观十分美丽的数学图案，一些图案与欧几里德的正多面体形状惊人地相似──其中有八面体、十二面体、二十面体等等。有人会说，这种相似性实在太离奇了，作者对这些骨架的规律性也许有点夸大其词了。即便如此，这些生物所呈现出来的漂亮、精巧且十分规则的图案总是毋庸置疑的事实。它们看上去就像一个个小小的数学模型。

美丽的鹦鹉螺

螺线是另一种极为普遍且与生命相关的数学形态。我们对蜗牛背上的螺线形外壳都已十分熟悉，甚至许多人对海中的峨螺和滨螺也有所了解。有些水生贝类（如珠蚌那样的双壳类动物）则是由两片盘状的贝壳铰合而成的，它们就没有螺线那种引人注目的数学美。但多数水生贝类都具有螺线形的贝壳。
我们在鹦鹉螺身上看到的也许是最漂亮的螺线了。它的形状非常接近于一种曲线，数学家将其称为对数螺线（或等角螺线）。用一根绳子的一端拴住一块石子，并将整段绳子缠绕在石子上。然后在头顶上方旋转挥舞，让绳子慢慢松开。绳子的长度不断增加，其增加的长度与石子转过的角度是成正比的（比方说，石子每转过30°，绳长就增加10％）。此时，石子运动的轨迹就是一条对数螺线。这种对数螺线如此优美，以至于最早弄清其几何特性的数学家贝努里（JacobBernoulli）还请人将它镌刻在自己的墓碑上。

斐波那契之花

植物王国的数学特征更优美也更神秘。《增殖与形态》一书用了整整一章阐述植物的几何特征和数字特征──例如，树叶沿着枝条排列的形状，向日葵籽盘上相互交叉的奇特螺线，花瓣的数目，等等。其中的数学的确非常奇妙。植物结构经常涉及一个有趣的数列，我们称之为斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……
动物的步态
几年前，我曾到英国一个海滨城市参加一次数学研讨会。宾馆距离会场有一段路，时值美丽的春天，我决定徒步前往。
一条拉布拉多猎犬走在我的前面，它沿着山路自由自在地小跑着，毫不在乎世界上发生的一切。每当它的身体向一侧移动时，尾巴就偏向另一侧，四只脚在地面上敲击出轻快的节拍。
我不知道这条拉布拉多猎犬是否也有诗人的情怀──它也许算不上世界上最有风度的狗，但它走路的节拍可以算是动物王国中完美而典型的自由步态。仔细观察，我甚至可以看清它的四只脚点击地面的先后次序：左后脚，左前脚，右后脚，右前脚。它始终迈着整齐的步伐，不断重复同样的模式。我们可以用两种相互交织的数学序列概括狗踱步的规律。当然，也可以概括狐狸、马、大象以及其他四足动物步态的规律。
步法的一个基本数学特征就是周期性：如果不受地形变化及其他外界因素影响，并且周围也不存在其他动物的话，动物本身是不会改变行进速度的，它会一而再三地重复同样节律的运动。
步法的另一个重要数学特征乃是对称性。1965年，美国动物学家希尔德勃兰德（MiltonHildebrand）着重指出，对称性普遍存在于各种步法之中。比方说，动物在跳跃时，两条前腿是一起运动的，两条后腿也一样。这个动作的对称性是通过动物的左右反射变换形成的。有些步法的对称性更为精妙。例如，骆驼走路时，左半身与右半身的移动姿态是一样的，但位相上相差半个周期──即移动滞后的时间等于步法周期的一半。这是一种在时空上都对称的步态，同时包含着在空间和时间上的变化。