李锐(1769—1817)是中国古代数学家，又名向，字尚之，号四香，江苏元和县(今属苏州市)人。

(一)少从名师

李锐先世居河南，祖父名横，父名章培。李章培系乾隆十七年(1752)进士，曾任河南伊阳(今汝阳)知县，后调兵部主事。李锐生于l769年1月l5日，“幼开敏，有过人之资。从书塾中捡得《算法统宗》，心通其义，遂为九章八线之学。”

1788年，李锐为元和县生员。次年钱大听来主持紫阳书院，李锐就此受业其门下。1791年，李锐从紫阳书院肄业，开始向钱大听学习天文和数学知识。钱氏“始教以三角、八线、小轮、椭圆诸法，复引而进于古”。钱大听“日以翻阅群书校仇为事，遇有疑义辄与锐商榷”。例如撰成《三统术衍铃》之后，就请李锐算校并作跋，可见钱氏对这位弟子的学问相当满意。这段学徒生涯，使李锐不但学到了知识，而且熟悉了乾嘉学派大师的治学方法，对此有人记道：“受业于钱辛楣宫詹(指大听)为九数学，宫詹诲之曰：‘凡为弟子者，不胜其师，不为贤弟子，吾友段若鹰(即玉裁)之于戴东原(即震)是矣，子其勉之。’先生(即李锐)于是闲门沉思五年，尽通畴人家言。”

由于钱大听的介绍，李锐开始与比他年长6岁的焦循通信。l790年，焦循以所著《群经宫室图》二部寄钱大听，后者复函称“已分一部致李生尚之，并将尊札付其阅看，伊亦深佩服，以不得握手为恨李锐也给焦循去了一信内容主要讨论行星运动问题。

(二)幕宾生涯

1795年，阮元出任浙江学政，开始筹划编纂《畴人传》。不久李锐被邀至杭州，实际上成为这一中国历史上第一部天文、数学家传记的主笔。在此期间，他常往来于苏、杭之间，得以广泛接触江南各藏书名家所收珍本秘籍，并有可能获读文澜阁四库全书中的传抄本。在此基础上，李锐对中国古代数学进行了认真的研究，他的工作与乾嘉学派对古代经典的广泛整理是相一致的。先后经他整理过的中国古代数学名著有李冶的《测圆海镜》和《益古演段》、王孝通的《缉古算术》、秦九韶的《数书九章》，及《九章算术》等。在天文学方面，李锐相继对三绝、四分、乾象、奉元、占天、淳佑、会天、大明、大统等历法进行了疏解。并先后完成《三统术注》、《四分术注》等五部书稿。在经学方面，他曾协助阮元校勘《周易》、  《谷梁》及《孟子》，其成果被载入阮元编的《十三经注疏》之中。他又自撰《周易虞氏略例》、《召浩曰名考》这样的经学作品。

l798年，李锐完成了《弧矢算术细草》—书。1799年在读《宋书·律历志》时、对其中用棕转述之何承天调日法有所悟，撰成《日法朔余强弱考》—书。同年《畴人传》编竣。在此期间，李锐与焦循同居阮元节署之内。朝夕相处，“共论经史，穷天人消息之理。”、”大约此时，李锐通过焦循了解到汪莱的工作；汪、李初次见面则在l800年。

汪莱于1801年授馆扬州，同年撰成《衡斋算学》第五册，议论秦九韶，李冶开方之“可知”与“不可知”，即数字方程是否仪有—个正根。稿成后汪氏曾分送张敦仁和焦循二人求正、焦循逐将汪莱的书稿出示给李锐。李锐看毕“深叹为精善，复以两日之力作开方三例”。这是1862年9月5日的事。当时李锐丧妻不久、又逢失子，独自居住于西湖边之孤山附近，心境十分凄凉。他在为汪莱所作的跋文中说：“是卷穷幽极微，真算氏之最也”。随后给出的“三例”则是他研究方程理论的开篇之作。

l805年，李锐应扬州太守张敦仁之邀前往入幕。此时在场州的数学家还有焦循、汪莱、凌廷堪、沈钦裴等人，一时风云际会，尤以李、汪、焦(一说李、凌、焦)三人被誉为“谈天三友”。张敦仁先后撰写《缉古算经细草》，《求——算术》、《开方补记》等书，都得到李锐的鼎力相助。他觅得南宋版《九章算术》(前五章)、《孙子算经》、《张丘建算经》之后，都请李锐算校整理。大约同时，汪莱完成了《衡斋算学》第七册，把方程论的研究又向前推进了一大步。

1806年，李锐回到苏州。这一年他相继撰成《勾股算术细草》、《磐折说》、《戈戟考》等作品，又为张敦仁复校《求—算术》。1808年写成《方程新术草》，书成后即寄给北京的李潢一部抄本。当时李潢正在从事《九章算术》的研究，他后来复函李锐，对此书及两年前经由张敦仁送来的《勾股算书细草》给予很高的评价。李锐与李潢，也被人并称为“南北二李”。

李锐生平虽曾多次参加科举考试，但是均未获成功。1801年，李锐从张敦仁在南昌的府邸出发，前往北京参加他的最后一次考试。这次顺天府的乡试又以失败告终，但他得以与李潢这位神交已久的学术知己聚首。在京期间，他们曾频繁往来，主要讨论《九章算术》中的问题。

李锐一生对中算古籍十分珍视，除了以—上提到曾多部古算书校释外，又于1800年亲自购得梅文鼎手录之明清之际数学珍本《西镜录》；此书后由焦循另抄一册，得以流传至今。在北京滞留期间，他又从李潢处读到阮元录自《永乐大典》的多部算书。1814年，李锐得到一部散乱的《杨辉算法》，遂据文义重新排列整齐。18l6年，他从张敦仁处获阅阮元早先访得并呈入四库的《四元玉鉴》，开始动手整理，可惜因体力不支未能卒业，以至阮元叹道：“惜乎李君细草未成，遂无能读是书矣。”

 (三)贫病相伴

李锐虽然长年奔走于达官显贵之间，他的家庭生活却是十分清苦的。在他留下的日记中，经常可以看到“受某某银若干”的记载；有一则日记还提到李潢托请张敦仁“少分清俸，以瞻其家，俾得悉心、著书。”李锐也经常以自己的精神劳动来回报他的导师或保护人，钱大听、张敦仁、阮元、李潢等人都曾采用过他的研究成果，难怪有人说他“凡有诘者”，“悉详告无隐”。李锐嗜书如命。为此不得不节衣缩食。有时实在买不起。他就靠借书和抄书来获得所需的资料。尤为可悲的是、为了传宗延嗣．他在发妻龚氏及爱子天亡之后又相继二次娶妻，直到临终始得一子。过度的工作量和沉重的家庭负担无疑加剧了他生活的贫困，也损害了他的健康。

l814年，李锐已患重病，此时他开始向弟子黎应南讲授开方与解方程的理论，断断续续地讲了三年，其讲稿就是后来的《开方说》。l8l7年夏，李锐病情恶化，临终前嘱托黎应南务必将尚未定稿的《开方说》下卷写好。1817年8月12日，正值创造盛年的李锐咯血身亡。时年仅48岁。

李锐去世后，黎应南“谨遵先生遗命，依法推衍”。于1819年将《方程论》全部完成。

李锐的科学著作，主要的都被收集在《李氏遗书》之中。该书初刊于嘉庆年间，共11种18卷，其子目为：《召浩曰名考》、《三统术注》、《四分术注》、《乾象术注》、《奉元术注》、《占天术注》、《日法朔余强弱考》、《方程新术革》、《勾股算术细草》、《弧矢算术细草》、  《开方说》。此外，他还著有《测圆海镜细草》、《缉古算经细草》、《补宋金六家术》；《回回历元考》等书。

李锐在其学术活动中集继承与创造于—身。他对数学的贡献，主要有以下四个方面：

(一)编纂《畴人传》

《畴人传》是一部以历法沿革为主线，以人物为核心的大型天文、数学家传记，共收录自远古至清初的中外历算家3l6人。每一人物均由“传”、“论”两部分组成：“传”主要是原始文献的荟萃、“论”是编者对传主的简短评语。没有对中国古代天文、数学的全面了解和博览群书的条件，是很难胜任这一任务的。李锐正是这部书的总体设计者和主要执笔人。

作为该书名义上主编的阮元，提到其编辑过程时自云“供职内外，公事频繁”，而“元和学生李锐暨台州学生周治平力居多”。类似的话在他为罗士林《续畴人传》写的序言和应李锐子可玖写的传记中都一再重复。阮元以地方长官的身份办学刻书，先后冠其名出版的《经籍纂诂》，《十三经注疏》、《皇清经解》等大部头经学著作无不出自其幕宾之手，此情自可推论到《畴人传》上。阮自称“本昧于天算”，又认定李锐“深于天算术。江以南第一人也”，因而将《畴人传》的具体工作交李锐来于是十分可能的。

从该书的具体内容来看，“张寿王”、“刘洪”、“马显”、“昭素”、“周踪”、“刘孝荣”、“卫朴”、“姚舜辅”、“蒋友仁“王孝通”、“李德卿”、“谭玉”、“杨级”、“耶律履”、“贝琳”传都与李锐有关著作中的文字完全相同；“虞刘”、“王处钠”论中亦可见到“李尚之锐曰”等字样，因而早就有人说：“(人传)正传成于阮氏，实乃元和李氏之笔”。

(二)整理古算书

乾隆年间编纂《四库全书》，一大批久经埋没的珍贵古代学经典得以重见天日，戴震、阮元、张敦仁等人都曾致力于罗各种“算经十书”和宋元数学名著。然而这些古书历经辗传抄或翻刻，讹文夺字迭出，所用术语又往往与当时的不同，而校勘和注释的任务是相当艰巨的。

《九章算术》是中国古代数学的代表作，现在公认早期最的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算术细草图说》。而早在此之前，李锐就已先后完成《勾股算术细草》和《方新术草》二书，书成后都曾送李潢过目，有李潢的信为证：

“读大著《方程新术草》一卷，正负相当各率，一？自然，正从前传刻之误，阐古人未发之覆，愉快弥日。《股(算术)细草》，前岁(1807)古愚太守(即张敦仁)见。

惠一本，条段各图，细入毫芒，真精思大力之作也。”对照李潢和李锐关于勾股定理及其应用的·说明，不难发现二者所用“条段各图”几乎雷同，尤其·是李潢书中关于刘微用“出入相补”法证明勾股定理的一段说明显然是完全照搬李锐的。李潢书中关于．“方程新术”的解释，基本上也是因袭李锐的著作。

李锐也曾撰写《海岛算经细草》和《缉古算术衍》、二书均已失传。但张敦仁有《缉古算术细草》传世，李锐曾为之算校并作跋，有人“疑此细草即以《缉古算术衍》为兰本，而扩其意耳。”李锐又协助张敦仁完成《求一算术》和《开方补记》二书。

李锐还曾整理过《孙子算经》、《测圆海镜》、《益古演段》、《数书九章》、《四元玉鉴》、《杨辉算法》等。

(三)疏解调日法和求一术

调日法是中国古代天文学家用分数来近似表达天文基本数据的一种数理方法，但是“元明以来畴人子弟，罔识古义，竞天知其说者。”李锐在读《宋书·律历志》的时候，注意到其中周琼转述“宋世何承天更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法”的意义，他解释道：何氏以26/49和19/17为上、下限，将朔望月的奇零部分表示为(26×15＋9×1)/ (49×15＋17×1)＝399/752，即选取强、弱二率适当的加权平均来近似表达观测值，这就是调日法的本质。上述分数中分子叫作朔余，分母叫作日法。

以此为契机，李锐对51家古代历法进行了考察．试图将每一历法所给出的日法和朔余二值表示成上述带权加成的形式，并以此推测它们是否应用调日法而来。这一工作使调日法这—古代分数近似法重新受到重视，被人称为“尤为抉尽间奥，皆必传之作，不但与秦氏书为羽翼也。”

但是从现代数学的观点来看，位于两个既约分数之间的任何分数都可以表示为它们二者的带权加成形式，因此仅以此来判定古代历法的数据系由调日法而来是欠严谨的。况且由于精度所限和运算之繁复，古代制历者也不大可能全用这种累乘累加的方法来确定其日法和朔余。李锐大约感到了后一困难．他又创造了一种“有日法求强弱(数)”的方法，其目的仍然是将朔余与日法的比值表示为26/49和9/17的带权加成。若以A表示日法，x和y分别表示强、弱二数，李锐提出的问题相当与求解二元一次不定方程：47x＋17y＝A，其术文提供了一种依赖于求一术的简捷算法，从而在中国数学史上第一次沟通了二元一次不定方程与同余式组这两类问题之间的联系。

(四)研究代数方程论

李锐对代数方程论的兴趣发轫于对秦九韶、李冶等末元数学家著作的整理与研习，但其直接导因却是汪莱在《衡斋算学》第五册中对各类方程是否仅有一个正根的讨论。在为汪莱所作的跋文中，他将汪莱所得到的96条“知不知”归纳为三条判定准则，其中第一条相当于说系数序列有一次变号的方程只有一个正根，第三条相当于说系数序列有偶数次变号的方程不会只有一个正根；它们与l6世纪意大利数学家卡当(G·CarJano)提出的两个命题十分相似。

在《开方说》中，李锐则给出了更一般的陈述：“凡上负、下正，可开一数”，“上负、中正、下负，可开二数”，“上负、次正、次负、下正，可开三数或一数”，“上负、次正、次负、次正、下负，可开四数或二数”；推而广之，他的意思相当于说：(实系数)数字方程所具有的正根个数等于其系数符号序列的变化数或者比此变化数少2(精确的陈述应为“少一个偶数”)。这一认识与法国数学家笛卡儿(R．Descartes)于l637年提出的判别方程正根个数的符号法则是不分伯仲的。

除了关于方程正根个数的判定法则之外，《开方说》中还有许多其他的重要成果。例如李锐首先引进了负根和重根的概念；他又将方程的非正数解称为“无数”，并声称“凡无数必两，无一无数者”，这里隐约含着虚根共扼出现的思想。李锐又在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件，创造了先求出一根首位再由变形方程续求其余位数字和其余根的“代开法”，还对末元算书中所包含的各种方程变形法，如倍根变形、缩根变形、减根变形、负根变形，逐一进行了解释并加以完善。

所有这些内容，标志着李锐在方程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼，成为清代数学史上一个引人注目的理论成果。